Forme trigonométrique

Proposition et définition  

Soit \(z \in \mathbb{C}^\ast\) .
On note \(r=\left\vert z \right\vert\) et `\theta` un argument de z . On a alors  \(\begin{align*} z=r(\cos\theta+i\sin\theta). \end{align*}\)

Cette écriture est appelée forme trigonométrique de `z` .

Démonstration

On note `z=x+iy` la forme algébrique de `z` .
Comme \(r=\left\vert z \right\vert \neq 0\) , on a :
\(\begin{align*} z=x+iy =r \left(\frac{x}{r}+i\frac{y}{r}\right). \end{align*}\)

Par définition de l'argument : `\cos\theta=\frac{x}{r}` et `\sin\theta=\frac{y}{r}` , et donc `z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)` .

Remarque

La forme trigonométrique d'un nombre complexez d'argument `\theta` n'est pas unique car tous les réels de la forme `\theta+k \times 2\pi` , avec `k \in \mathbb{Z}` , sont d'autres arguments de `z` . Cependant, la valeur de `\cos(\theta)` et de  `\sin(\theta)` ne change pas malgré le changement d'argument (ce qui revient à dire que la forme algébrique est unique).